blog1138

松本敦です。いちおう最高位戦で麻雀してます。ブログは頑張って続ける。内容はテキトー

1/NをN回試行する

たまには麻雀(に近い)話にする

パチンコをするとする
Aの台は1/100で当たります、Bの台は1/300で当たります

両方100回転したらどっちが当たりやすい？
→そりゃAだよね

ではAを100回転、Bを300回転したら？
→おんなじだよね
→本当に？

まず、ここでよく言う「当たる」は、
「一回目の当選があるかないか」
を指している

パチンコは当りを拒否できないので、当選後に継続して抽選を受け続けることはできない。なので今考えようとしてるモデルは、ちょっと前のパチスロ(ハードボイルドとか)の
「一定期間内の当選回数は何回ですか？」
みたいな話とは異なる。麻雀で言うと、「和了り牌をツモ切りして最後までめくってみても良いけど、普通はしないよね」みたいな感じですね

前置きが長くなったけど、結局は
「1/NをN回試行したときに、1回目の当選が得られる確率はいかほどか？」
ということですね

ちゃんと計算する前に考えてみる
N=1の時は？
→1回あたりの当選確率1/1、つまり100%当たるんだから1回試行した時も100%

N=2の時は？
→1回あたりの当選確率1/2、なので1回目の試行で50%当選、非当選の場合は2回目の試行で50%当選だから、合わせると1/2+1/2*1/2=3/4つまり75%

N=3の時は？
→1回目で当選するのが1/3、2回目で当選するのが2/3(ハズレ)*1/3(アタリ)、三回目で当選するのが2/3(ハズレ)*2/3(ハズレ)*1/3(アタリ)、計算すると19/27≒70%

あれ、これだんだん小さくなるよね、ひょっとして0に近づkそうではない

上記の計算って結局、余事象を取れば(1回も当選しない確率を計算して1から引けば)いいわけですね

{ \displaystyle 1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n})^n }

引き算してるところが余事象の確率なのがおわかりいただけるだろうか？

さて、ここですこしだけ工夫をする。Nが大きくなると

{ \displaystyle \frac{n-1}{n}=\frac{n}{n+1} }

と言える。ついでにt=1/nとおいて、上記の式をちょっと変形してみる

{ \displaystyle \ \ \ \ \ 1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n})^n\\=1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n+1})^n\\=1-\frac{1}{\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n})^n}\\=1-\frac{1}{\lim_{t \to 0}(1+t)^\frac{1}{t}}\\\\\\\ \ \ \ \color{red}{\lim_{t \to 0}(1+t)^\frac{1}{t}} }

これは自然対数の底の定義でもある

つまり結局元の式は

{ \displaystyle 1-\lim_{n \to \infty}(\frac{n-1}{n})^n=1-\frac{1}{e} }

と変形される

これを計算すると(e=2.718281828459014....)だいたい63.2%くらいになる

疑う人はこれを見て貰えればよろしいかと

まあ、
「パチンコ確率分回したらだいたい6割当たるよね？」
「確率の2倍回したら(6割当選を2回試行するのと同じだから)1-0.4^2=84%くらい当たるよね？」
ってことですね

麻雀に例えるなら

7巡目に立直して、「流局までツモ番あれば6割位上がれそうだな～」と思っているなら(そしてそれが適切な予測であれば)その立直の一発ツモの期待値は1/12≒8%くらい

ダブリーして、「一発ツモの期待値6%くらいかな」と思ってるとしたら、仮に最後までメクってもツモアガリ確率60%程度ってことですね

無理やり麻雀で着地させようとしてますが、本日はここまで