車輪の再発明
昨日のエントリに対して、乗り遅れにも程があるんですが。
でも、完全数については、むかし考えたことがあるんですね。確か、高校2年になったばかりの頃に、朝にデニーズでモーニングしていた時に急に気になって、考えていた。
完全数：正の整数 n について，約数の総和 S(n) が n の二倍となるとき，n を完全数という。
496は完全数。約数は 1,2,4,8,16,31,62,124,248,496 で、全て足すと 992。
自身以外の約数の合計が、自身と等しい、といった方が分かりやすいかも。
一方でメルセンヌ素数というのがあります
2^n-1 の形の素数のことですね。nは素数でないと成立しません。
2ab − 1 = (2^a − 1)(1 + 2^a + 2^2a + ⋯ + 2^(b−1)a)
因数分解できてしまいます
で、とあるメルセンヌ素数 2^n-1 を考えたときに
A=(2^n-1) × 2^(n-1)
って言う数(すう)の約数の和 S(A) を考えてみると
赤いところは素数だから、約数は1と自分だけですよね
2^(n-1)の部分は、2の累乗なんで、1,2,4.....2^(n-1)が約数
で、約数の和って、約数同士の組み合わせを全部足せばいいから
S(A) = (1+(2^n-1)) × (1+2+4+...2^(n-1))
あと、青いところを捌きたいんだけど
(1+2+4+...2^(n-1))=2^n-1 ですよね
赤いところと合わせると
S(A) = (1+2^n-1) × (2^n-1)
= 2^n × (2^n-1)
当然ですが、2^n は 2^(n-1) の2倍でしょ
つまり、
S(A) = 2^n × (2^n-1)
= 2 × (2^n-1) × 2^(n-1) = 2 × (2^n-1) × 2^(n-1) = 2 × A
Aは完全数だったのだ
大昔から(紀元前から)知られていたことなんですが、(自慢ではないですが)朝飯食ってて、ん？と思って、自力で結論にたどり着けたのは僕にとてちょっとした成果だし、だから今でも覚えている。
考えることに意味あるのかな？とか思ってる時間のほうが無駄だと思っている。
やっていくって、そういうことではないのかな？
